Ответов в теме: 321

[Plarb]

yorool (Feb 10 2006, 02:23 PM) писал:

Упс... Неудачно выразился. Когда я писал "Я знаю, как это доказать в уме", я всего лишь имел в виду, что знаю решение задачи, не требующее бумажных (или компьютерных - как в посте) вычислений.

не стоит оправдываться, дружище! Даже если бы ты имел в виду именно то, что написал, мы бы все равно не поверили!

[Dandelo]

--------------1000
От числа 2 ----- взяли сумму цифр, затем от полученного числа снова взяли сумму цифр и так 100 раз. Какое число получится в результате?

Думаю, это посчитать будет потруднее.
Сам решения не знаю, поэтому придется решать без подсказок.

yorool сказал:

А что тут доказывать: 99!=933...

В какой программе это считалось?

Отредактировано: Dandelo, 11 Февраль 2006 - 00:30:58

[yorool]

2^1000=107150860718626732094842504906000181056140481170553360744375038837035105112493612249319837881
56958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141
87795418215304647498358194126739876755916554394607706291457119647768654216766042983165262438683720566
8069376.
Сумма цифр этого числа - 1366; дальше получаем 16 и 7.
(Опять же, я знаю и такое решение, что все вычисления для него можно сделать в уме).
А считалось это все в Mathematica.

[Dandelo]

Aegis (Jan 27 2006, 07:36 AM) писал:

Dandelo (Jan 26 2006, 10:15 AM) писал:

Найти все простые числа р, такие что 5р+1 тоже простое.

Задачу я решил, но пусть еще кто-нибудь попробует - не одному же мне тут умничать, в самом деле.

Похоже, умничать никто не хочет. Придется самому. Тем более что задачка простая, и больше ждать смысла нет.

Все простые числа (кроме 2) нечетные. Поэтому число 5р+1 должно быть нечетным, а 5р – четным. Последнее возможно только в случае четного р. Поскольку р должно быть простым, то единственное число, которое удовлетворяет этим условиям – это 2.

yorool (Feb 10 2006, 01:42 PM) писал:

PS Я знаю, как это доказать в уме, но пока помолчу.

yorool (Feb 11 2006, 04:47 AM) писал:

Опять же, я знаю и такое решение, что все вычисления для него можно сделать в уме

Интересно, чем обусловлено желание подождать и дать порешать другим? Тем, что решение было известно заранее, или все-таки просто желанием дать другим подумать?

Отредактировано: Dandelo, 12 Февраль 2006 - 02:23:15

[yorool]

Dandelo (Feb 11 2006, 11:19 PM) писал:

Интересно, чем обусловлено желание подождать и дать порешать другим? Тем, что решение было известно заранее, или все-таки просто желанием дать другим подумать?

Просто я математик, участвовал в олимпиадах, так что подобные задачи или знаю, или решаю сразу.

[Dandelo]

yorool (Feb 12 2006, 02:51 AM) писал:

Просто я математик, участвовал в олимпиадах, так что подобные задачи или знаю, или решаю сразу.

Тогда большой тебе респект. Я вот тоже в свое время занимался математикой. Причем дважды и оба раза приходилось бросать. Сначала занимался в кружке (как звучит-то глупо, особенно с ударением на первом слоге). Потом предложили поехать в лагерь, чтобы отдыхать и заниматься математикой, а я умудрился заболеть. В результате для тех, кто летом не занимался, изменилось время занятий (стало слишком поздно), поэтому вскоре пришлось бросить. А потом занимался уже при школе: тогда там был математический класс, и при нем тоже было что-то вроде кружка. А потом математики переехали (говорят, поссорились с директрисой), причем довольно далеко. Поэтому занятия снова пришлось бросить.

А чтобы не заниматься зверским оффтопом, предложу еще задачу. Специально для математиков и любителей компьютерных вычислений.

....................................1998
..................................2
Докажите, что 2 ........ – 1 делится на 5.
[Черные точки только для того, чтобы правильно написать.]

Отредактировано: Dandelo, 12 Февраль 2006 - 17:09:41

[yorool]

Dandelo (Feb 12 2006, 01:49 PM) писал:

....................................1998
..................................2
Докажите, что 2 ........ – 1 делится на 5.

Подсказка к задаче про сумму цифр, если ты ее еще не решил: по сути, она почти не отличается от этой.

[Dandelo]

Dandelo (Feb 9 2006, 10:19 PM) писал:

...................................... 99
Докажите, что 99! < 50 .

Пожалуй, дам подсказку: 99!=(1·99)·(2·98)·(3·97)·...

Отредактировано: Dandelo, 16 Февраль 2006 - 00:40:11

[yorool]

Dandelo (Feb 10 2006, 09:30 PM) писал:

--------------1000
От числа 2 ----- взяли сумму цифр, затем от полученного числа снова взяли сумму цифр и так 100 раз. Какое число получится в результате?

Наверное, пора уже выкладывать решение. Поскольку в HTML-тэгах не силен, выкладываю его в doc-е.

[Dandelo]

yorool (Feb 21 2006, 09:22 PM) писал:

Dandelo (Feb 10 2006, 09:30 PM) писал:

--------------1000
От числа 2 ----- взяли сумму цифр, затем от полученного числа снова взяли сумму цифр и так 100 раз. Какое число получится в результате?

Наверное, пора уже выкладывать решение. Поскольку в HTML-тэгах не силен, выкладываю его в doc-е.

Круто... А я дошел только до того, что надо определить остаток от деления числа 2^1000 на 9... Да и то благодаря подсказке...

[Dandelo]

yorool (Feb 1 2006, 01:32 PM) писал:

упс... действительно, если всмотреться, то видно даже у меня. Извините, не заметил.

Честно говоря, меня давно мучал вопрос произвольного выбора цвета текста. И наконец-то я понял!
Надо писать так:

[color=320000]Текст[/color]

При этом надпись видна не будет: «невидимая» надпись (чтобы прочесть написанное слева, надо выделить текст).

Все просто. Используется стандартная RGB модель кодирования цвета, но все числа переводятся в шестнадцатеричный вид.

Для того, чтобы цвет текста совпадал с цветом фона надо использовать:
50 (красный)
0 (зеленый)
0 (синий)
Цифры я получил так.
Print Screen → вставить картинку в Paint → «выбор цветов» (инструменты слева), выбрать фон → «палитра» → «изменить палитру» → «определить цвет». Справа будут написаны искомые цифры.

Переводим в шестнадцатеричный вид и получаем: 32, 0, 0.

P. S. Хотелось бы еще задачек...

[Miss-Djein]

Dandelo (Feb 25 2006, 12:36 AM) писал:

Надо писать так:

[color=320000]Текст[/color]

При этом надпись видна не будет: «невидимая» надпись (чтобы прочесть написанное слева, надо выделить текст).

Тю блин, а я названия цветов писала Теперь буду знать, что палитра возможностей форума более разнообразна

[Дрон]

Вот таблица цветов. Здесь работает, я проверил (ссылка красного цвета ) Вводить надо значение из второго столбика справа без значка "#"

Отредактировано: Дрон, 25 Февраль 2006 - 16:08:27

[Dandelo]

yorool (цитата из doc'а) сказал:

Легко понять, что с этого места остатки будут повторяться с периодом n-m.

То ли у меня приступ тупизма, то ли все не так то легко... Короче говоря, я понял, как это доказать только сейчас. Думал я не очень долго (здесь сказался недостаток свободного времени), но, по-моему, это не совсем очевидно...

Чтобы слишком сильно не извращаться, докажу только для данного случая.
Мы хотим доказать, что через каждые 6 чисел остатки от деления на 9 повторяются. Т. е. остаток числа
-k
2 должен совпадать с остатком числа
-6n+k
2
Первое число можно представить в виде:
9a+m, где m – остаток от деления на девять. Второе число с учетом этого можно представить в виде:
-6n
2 - (9a+m)
Остаток последнего числа равен остатку следующего числа:
-6n
2 - ·m
Следовательно, чтобы остатки повторялись (остаток m у обоих чисел), должно выполняться условие:
-6n
2 - =9х+1 (1) (при этом у второго числа – в степени 6n+k – тоже будет остаток m)

Для доказательства того, что (1) верно для любого натурального n (т. е. n=1, 2, 3, 4, ...), воспользуемся методом математической индукции.

Для n=1 верно: 64=9·7+1

Предположим, что верно для n=k:
-6k
2 - =9x+1 – верно.

Для n=k+1:
-6(k+1)----6--6k
2 ---- =2 ·2--=
--6
=2 ·(9x+1)=(9·7+1)(9x+1)=9y+1

Значит, верно для любого натурального n.

Это довольно легко обобщается для остатков от деления любого числа вида
-N
A
на любое число b.

Надеюсь, написал без ошибок.

Может можно проще?

Исправил только оформление.

Отредактировано: Dandelo, 28 Февраль 2006 - 00:20:00

[yorool]

Прошу прощения, забыл написать одну важную вещь: дело в том, что A^(k+1)=A^k * A (здесь ^ означает возведение в степень), поэтому остаток от деления A^(k+1) на B зависит только от остатка числа A^k (ну и, конечно, от остатка самого числа A). Поэтому, если мы идем по остаткам чисел A^1, A^2, A^3, ..., то с каждого остатка мы всегда будем переходить на один и тот же другой. И если с остатка числа A^m мы за n-m шагов вернулись к нему же, то зто означает, что мы вышли на цикл длины n-m, по которому теперь и будем ходить, поскольку ка - колесо.